Question

5．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）若C是TB上一点，$\frac{BC}{CT}$=$\frac{1}{2}$，连接OC，AC，求tan∠ACO的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，从而证得AT是⊙O的切线；
（2）过C作CD⊥AB于D，OE⊥AC于E，设AB=AT=3a，得到BD=CD=a，求得OD=$\frac{1}{2}$a，根据勾股定理得到OC=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，根据相似三角形的性质得到OE=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$a，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB，
∴∠T=∠ABT=45°，
∴∠BAT=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴AT是⊙O的切线；

（2）过C作CD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
设AB=AT=3a，
∵$\frac{BC}{CT}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD=CD=a，
∴OD=$\frac{1}{2}$a，
∴OC=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵∠CDA=∠AEO=90°，∠OAE=∠CAD，
∴△AEO∽△ADC，
∴$\frac{OE}{CD}=\frac{AO}{AC}$，即$\frac{OE}{a}=\frac{\frac{3}{2}a}{\sqrt{5}a}$，
∴OE=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$a，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∴tan∠ACO=$\frac{OE}{CE}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，切线的判定，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．