Question

10．如图，BD、CE为△ABC的两条高，它们的交点为O．
（1）请写出与△ABD相似的三角形；
（2）求证：$\frac{OD}{AD}=\frac{OC}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）先利用高的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD=∠ACE，加上∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△ACE，利用同样的方法得到△FBE∽△ABD，△FCD∽△ACE，所以△ABD∽△ACE∽△FBE∽△FCD；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BOE=∠COD，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∵∠ABD=∠OBE，∠BEO=∠BDA，
∴△OBE∽△ABD，
同理可得△OCD∽△ACE，
∴△ABD∽△ACE∽△OBE∽△OCD；

（2）由（1）证得△ABD∽△OBE∽△OCD，
∴$\frac{OD}{OE}=\frac{OC}{OB}$，①
$\frac{AD}{OE}=\frac{AB}{OB}$ ②，
①÷②得$\frac{OD}{AD}=\frac{OC}{AB}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质定理，关键是熟记三角形的判定定理，根据定理进行证明求解．