Question

5．在矩形ABCD中，AB=1，AD=$\sqrt{3}$，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中正确的是（　　）
①AF=$\frac{1}{2}$FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．

• A． ②③
• B． ③④
• C． ①②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 求出OA=OC=OD=BD，求出∠ADB=30°，求出∠ABO=60°，得出等边三角形AOB，求出AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，根据以上结论推出即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=$\sqrt{3}$，AB=1，
∴tan∠ADB=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，
∴②正确；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，
∴③正确；
作HG⊥BC的延长线于点G，
∵AB=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴BC=CH=2，
∴HG=CH•cos∠CHG=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵△ABF∽△HGF，
∴$\frac{AB}{HG}=\frac{AF}{FH}$，
即$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{AF}{FH}$，
∴FH=$\sqrt{3}$FA，
∴AF=$\frac{1}{2}$FH错误，
故①错误；

∵△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，
∵CE⊥BD，
∴DE=EO=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{1}{2}$BD，
即BE=3ED，∴④正确；
即正确的有②③④3个，
故选D．

点评 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线定义，定义三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的综合运用，难度偏大，对学生提出较高的要求．