Question

在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC．设∠BAC=α，∠BCE=β．
（1）如图1，如果∠BAC=90°，∠BCE=

 

度；
（2）如图2，你认为α、β之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）当点D在线段BC的延长线上移动时，α、β之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：常规题型,创新题型

分析：（1）根据题干中给出的条件可以证明△ABD≌△ACE，即可证明∠B=∠ACE，即可求出∠BCE的度数；
（2）根据（1）中的△ABD≌△ACE，可以证明α+β=180°；
（3）α+β=180°．

解答：解：∵∠DAE=∠BAC，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠EAC+∠DAC；
∴∠CAE=∠BAD；
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠B=∠ACE；
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°-∠BAC=90°；
（2）由（1）中可知β=180°-α，
∴α、β存在的数量关系为α+β=180°；
（3）连接AD，作AE使得∠DAE=∠BAC，AE=AD，连接DE、CE，可得下图：

∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE；
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠B=∠ACE；
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°-∠BAC．
∴α、β存在的数量关系为α+β=180°；

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中熟练运用SAS方法判定全等三角形是解题的关键．