Question

在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2cm，点P在对角线AC上，M为AB中点，求△PMB周长的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,菱形的性质

专题：

分析：作出图形，连接BD，先求出∠BAD=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，根据菱形的性质，点B、D关于直线AC成轴对称，连接DM，根据轴对称确定最短路线问题可得DM与AC的交点即为使△PMB周长的最小值的点，根据等边三角形的性质求出DM，再求出BM，然后求解即可．

解答：解：如图，连接BD，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=180°-120°=60°，
∵菱形的邻边AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∵点B、D关于直线AC成轴对称，
∴连接DM，DM与AC的交点即为使△PMB周长的最小值的点，
∵AB=2cm，M为AB中点，
∴DM=

3

2

×2=

3

cm，
BM=

1

2

AB=

1

2

×2=1cm，
∴△PMB周长的最小值=（

3

+1）cm．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出点P的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．