Question

14．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=4$\sqrt{2}$，求：
（1）AE的长；    
（2）△EFC的面积．

Answer 1

分析 （1）由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；
（2）首先证明△ABE∽△FCE，再分别求出△ABE的面积，然后根据面积比等于相似比的平方即可得到答案．

解答 解：（1）
∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=6，AD=DF=9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4$\sqrt{2}$，
∴AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=2，
∴AE=2AG=4；
（2）∵AE=2AG=4，
∴△ABE的面积等于8$\sqrt{2}$，
∵DF∥AB，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的面积为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．