Question

17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是CD的中点，AC与BE交于点F，那么△ABF和△CEF的面积比是6：1．

Answer 1

分析 延长BE，AD交于G，根据平行线的性质得到∠G=∠EBC，根据全等三角形的性质得到DG=BC=2AD，GE=BE，于是得到AG=3AD，通过△AGF∽△BCF，得到$\frac{AF}{CF}=\frac{GF}{BF}=\frac{AG}{BC}$=$\frac{3}{2}$，设GF=3x，BF=2x，求得$\frac{BF}{EF}=\frac{4}{1}$，由$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△BCF}}$=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{3}{2}$，得到S_△ABF=$\frac{3}{2}$S_△BCF，由$\frac{{S}_{△BCF}}{{S}_{△CEF}}$=$\frac{BF}{EF}$=4，得到S_△CEF=$\frac{1}{4}$S_△BCF，即可得到结论．

解答 解：延长BE，AD交于G，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠EBC，
在△DGE与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠EBC}\\{∠DEG=∠BEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴DG=BC=2AD，GE=BE，
∴AG=3AD，
∵AD∥BC，
∴△AGF∽△BCF，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{GF}{BF}=\frac{AG}{BC}$=$\frac{3}{2}$，
∴设GF=3x，BF=2x，
∴BG=5x，
∴BE=GE=2.5x，
∴EF=$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{BF}{EF}=\frac{4}{1}$，
∴$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△BCF}}$=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ABF=$\frac{3}{2}$S_△BCF，
∵$\frac{{S}_{△BCF}}{{S}_{△CEF}}$=$\frac{BF}{EF}$=4，
∴S_△CEF=$\frac{1}{4}$S_△BCF，
∴△ABF和△CEF的面积比=$\frac{\frac{3}{2}{S}_{△BCF}}{\frac{1}{4}{S}_{△BCF}}$=6：1．
故答案为：6：1．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．