Question

14．如图，∠OAB=45°，点A的坐标是（4，0），AB=$2\sqrt{2}$，连结OB．
（1）直接写出点B的坐标．
（2）动点P从点O出发，沿折线O-B-A方向向终点A匀速运动，另一动点Q从点O出发，沿OA方向匀速运动，若点P的运动速度为$\sqrt{2}$个单位/秒，点Q的运动速度是1个单位/秒，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒，请求出使△OPQ的面积等于1.5时t的值．
（3）动点P仍按（2）中的方向和速度运动，但Q点从A点向O点运动，速度为1个单位/秒，P、Q与△OAB中的任意一个顶点形成直角三角形时，求此时t（t≠0）的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，过B作BC⊥OA于C，根据∠OAB=45°，可知△ACB为等腰直角三角形，求出BC和AC的长为2，再由点A的坐标得出OA=4，所以得出B（2，2）；
（2）有两种情况：①P在OB上时，如图2，作△OPQ的高线PD，根据速度和时间表示动点的路程：OP=$\sqrt{2}$t，OQ=t，根据图1求出∠AOB=45°，所以△POD是等腰直角三角形，表示出高线PD的长，代入面积公式列等量关系式可求得结论；②P在AB上时，同理可求得t的值；
（3）分四种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，∠OPQ=90°，如图3，②当0＜t≤2时，∠OQP=90°，如图4，③当2＜t＜4时，∠APQ=90°，如图5，④点Q与O重合，点P与A重合，如图6；分别根据45°的余弦列式求出．

解答 解：（1）过B作BC⊥OA于C，
∵∠OAB=45°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∵AB=2$\sqrt{2}$，
∴BC=AC=2，
∵A（4，0），
∴OA=4，
∴OC=OA-AC=4-2=2，
∴B（2，2）；
（2）过P作PD⊥OA于D，
如图1，由（1）得：OC=BC=2，∠BCO=90°，
∴∠AOB=45°，
如图2，当0≤t≤2时，由题意得：OP=$\sqrt{2}$t，OQ=t，
∵△POD是等腰直角三角形，
∴PD=$\frac{OP}{\sqrt{2}}$=t，
∵S_△OPQ=1.5，
∴$\frac{1}{2}$OQ•PD=1.5，
$\frac{1}{2}$t²=1.5，
t=$±\sqrt{3}$，
如图7，当2≤t≤4时，过P作PD⊥OA于D，过B作BC⊥OA于C，
由题意得：OB+BP=$\sqrt{2}$t，OQ=t，OB=2$\sqrt{2}$，
∴AP=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵PD∥BC，
∴△ADP∽△ACB，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PD}{BC}$，
∴$\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{2\sqrt{2}}=\frac{PD}{2}$，
∴PD=4-t，
∵S_△OPQ=1.5，
∴$\frac{1}{2}$OQ•PD=1.5，
$\frac{1}{2}$t（4-t）=1.5，
t（4-t）=3，
t²-4t+3=0，
（t-1）（t-3）=0，
t₁=1＜2（舍），t₂=3，
答：当t=$\sqrt{3}$或3秒时，△OPQ的面积等于1.5；
（3）分四种情况：
①当0＜t≤2时，∠OPQ=90°，如图3，
由题意得：OP=$\sqrt{2}$t，AQ=t，OQ=4-t，
则cos45°=$\frac{OP}{OQ}$，
$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}t}{4-t}$，
解得：t=$\frac{4}{3}$；
②当0＜t≤2时，∠OQP=90°，如图4，
由题意得：OP=$\sqrt{2}$t，AQ=t，OQ=4-t，
则cos45°=$\frac{OQ}{OP}$，
$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4-t}{\sqrt{2}t}$，
解得：t=2；
③当2＜t＜4时，AQ=t，AP=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
当∠APQ=90°时，如图5，
cos45°=$\frac{AP}{AQ}$，
$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{t}$，
解得：t=$\frac{8}{3}$；
④如图6，点Q与O重合，点P与A重合，
∠PBQ=90°，此时t=4；
综上所述，P、Q与△OAB中的任意一个顶点形成直角三角形时，t的值为$\frac{4}{3}$或2或$\frac{8}{3}$或4．

点评 本题是三角形的综合题，也是动点运动问题，与坐标相结合，注意线段的长与坐标特点；考查了等腰直角三角形、特殊三角函数的性质和定义，熟记45°的特殊三角函数值，在表示动点P、Q的路程时，注意当t大于2时，点P的路程和AP的长．