Question

2．（1）填空：
3¹-3⁰=2×3^（　　），
3²-3¹=2×3^（　　），
3³-3²=2×3^（　　），
…
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）计算3⁰+3¹+3²+…+3²⁰¹⁶．

Answer 1

分析 （1）根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解；
（2）根据指数结果幂的指数比等式的序数小1解答；
（3）设S=3°+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶，然后表示出3S，再相减计算即可得解．

解答 解：（1）3¹-3⁰=2×3⁰，3²-3¹=2×3¹，3³-3²=2×3²．
故答案为：0，1，2；

（2）规律：3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，
证明：3ⁿ-3^n-1=3×3^n-1-1×3^n-1=2×3^n-1；

（3）设S=3°+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶，
则3S=3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁷，
所以2S=（3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁷）-（3⁰+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶）=3²⁰¹⁷-1，
S=$\frac{1}{2}$（3²⁰¹⁷-1）．

点评 本题主要考查了数字变化规律，利用有理数的乘方的计算，利用整体思想求解是解答此题的关键．