Question

18．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD于点E．
（1）求证：∠BAM=∠AEF；
（2）若AB=4，AD=6，cos∠BAM=$\frac{4}{5}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质以及垂直的性质可得∠BAM+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°，进而可证明∠BAM=∠AEF；
（2）在直角三角形AEF中，利用已知条件可求出AE的长，因为AD的长已知，所以DE的长可用求出．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAC=90°．
∵EF⊥AM，
∴∠AFE=∠B=∠BAD=90°．
∴∠BAM+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°．
∴∠BAM=∠AEF；
（2）在Rt△ABM中，∠B=90°，AB=4，cos∠BAM=$\frac{4}{5}$，
∴AM=5．
∵F为AM中点，
∴AF=2.5，
∵∠BAM=∠AEF，
∴cos∠BAM=cos∠AEF=$\frac{4}{5}$．
∴sin∠AEF=$\frac{3}{5}$．
在Rt△AEF中，
∠AFE=90°，AF=$\frac{5}{2}$，sin∠AEF=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{25}{6}$．
∴DE=AD-AE=6-$\frac{25}{6}$=$\frac{11}{6}$．

点评 此题主要考查了锐角三角函数的关系以及矩形的性质，根据已知得出sin∠AEF的值是解题关键．