Question

6．如图，正比例函数y=mx的图象与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2），AC⊥x轴于C，连结BC．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当mx＞$\frac{k}{x}$时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标，利用待定系数法即可求出正比例、反比例函数的解析式；
（2）由函数的对称性可得知：A、B两点关于原点O中心对称，结合点A的坐标可求出线段OC的长以及点B的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）观察函数图象，寻找何时正比例函数图象在反比例函数图象上方，由此即可得出结论．

解答 解：（1）将点A（1，2）代入到正比例函数y=mx中得：2=m，
∴正比例函数的解析式为y=2x；
将点A（1，2）代入到反比例函数y=$\frac{k}{x}$中得：2=k，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$．
（2）由函数的对称性可知：A、B两点关于原点O中心对称，
∵点A的坐标为（1，2），AC⊥x轴，
∴OC=1，点B的坐标为（-1，-2）．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$OC•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×1×[2-（-2）]=2．
（3）观察函数图象发现：当-1＜x＜0或x＞1时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，
故当mx＞$\frac{k}{x}$时，x的取值范围为-1＜x＜0或x＞1．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）求出点B的坐标以及线段OC的长；（3）观察函数图象．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．