Question

10．如图，在△ABC和△BCE中，∠CBE=30°，∠BEC=90°，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B₁，E的对应点为E₁，设直线B₁E₁与直线BE交于点F，与直线CB交于点Q，当△BPQ为等腰三角形时，α的大小是30°，75°或165°．

Answer 1

分析 根据旋转和等腰三角形的性质进行探究，结论是：存在α（30°和75°），使△BPQ为等腰三角形．如答图1、答图2和图3所示．

解答 解：存在α，使△BPQ为等腰三角形．
理由如下：经探究，得△BPQ∽△B₁QC，
故当△BPQ为等腰三角形时，△B₁QC也为等腰三角形．
（I）当QB=QP时（如答图1），

则QB₁=QC，∴∠B₁CQ=∠B₁=30°，
即∠BCB₁=30°，
∴α=30°；
（II）当BQ=BP时，则B₁Q=B₁C，
若点Q在线段B₁E₁的延长线上时（如答图2），

∵∠B₁=30°，∴∠B₁CQ=∠B₁QC=75°，
即∠BCB₁=75°，
∴α=75°；
若点Q在线段E₁B₁的延长线上时（如答图3），


∵∠B₁=30°，∴∠B₁CQ=∠B₁QC=15°，
即∠BCB₁=180°-∠B₁CQ=180°-15°=165°，
∴α=165°．
综上所述，存在α=30°，75°或165°，使△BPQ为等腰三角形．
故答案为：30°，75°或165°．

点评 本题考查了旋转的性质以及运动型与几何变换综合题，难度较大．对存在型问题中，探究出符合题意的旋转角，并且做到不重不漏，是解题难点．