Question

2．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=3，EM+CM的最小值为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解．

解答 解：连接BE，与AD交于点M．
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴B、C关于AD对称，
∴BE就是EM+CM的最小值．
∵等边△ABC的边长为6，
∴AD=3$\sqrt{3}$，
∵AE=3，
∴CE=AC-AE=6-3=3，
∴BE是AC的垂直平分线，
∴BE=AD=3$\sqrt{3}$，
∵EM+CM=BE
∴EM+CM的最小值为3$\sqrt{3}$．
故答案为3$\sqrt{3}$．

点评 考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是本题的关键．