Question

12．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F在AC上，且AE=CF，
（1）求证：BE=DF；
（2）当AB=BC时，试判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BD，交AC于O，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD．证出OE=OF．得出四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论；
（2）证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接BD，交AC于O，如图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
又∵AE=CF，
∴OE=OF．
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF；
（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形BFDE是平行四边形是解决问题的关键．