Question

9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是2.4．

Answer 1

分析 如图作CQ′⊥AB于Q′交AD于点P，作PQ⊥AC此时PC+PQ最短，利用面积法求出CQ′即可解决问题．

解答 解：如图，作CQ′⊥AB于Q′交AD于点P，作PQ⊥AC此时PC+PQ最短．
∵PQ⊥AC，PQ′⊥AB，AD平分∠CAB，
∴PQ=PQ′，
∴PQ+CP=PC+PQ′=CQ′
∴此时PC+PQ最短（垂线段最短）．
在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CQ′，
∴CQ′=$\frac{AC•CB}{AB}$=$\frac{12}{5}$=2.4．
∴PC+PQ的最小值为2.4．
故答案为2.4．

点评 本题考查轴对称-最短问题、角平分线性质、勾股定理等知识，解题的关键是找到点P、Q的位置，灵活应用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．