Question

14．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交CE的延长线于点F，且AF=BD，当AB与AC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？

Answer 1

分析 由AAS证明证明△AEF≌△DEC，得出AF=CD，证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．

解答 解：AB=AC，理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E为AD的中点，
∴EA=ED，
在△AEF和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DCE}&{\;}\\{∠AEF=∠DEC}&{\;}\\{EA=ED}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEC（ASA）；
∴AF=CD，
∵AF=BD，AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，BD=CD，
∵AB=AC，
∴AD⊥BD，
∴四边形AFBD是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，平行四边形的判定；能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．