Question

3．已知，△DBC中，DB=DC，∠BDC=α°（90≤α＜180°），点A在BD延长线上，点E在AC上，且∠BEA=∠BDC，BE与CD交于点G，

（1）如图1，当α=90°，求证：AC=BG；
（2）如图2，当α≠90°时，猜想线段AC与BG的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）利用“ASA”证明△BDG≌△CDA即可；
（2）作CF=CD，如图2，先利用四边形内角和和邻补角定义得到∠A=∠BGD，再利用“AAS”证明△BDG≌△CFA，于是可判断AC=BG．

解答 解：（1）如图1，
∵∠BDC=90°，
∴∠DBG+∠BGD=90°，
∵∠BEA=∠BDC，
∴∠GEC=90°，
∴∠CGE+∠GCE=90°，
∵∠BGD=∠CGE，
在△BDG和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBG=∠GCE}\\{DB=DC}\\{∠BDG=∠CEG}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CDA，
∴AC=BG；
（2）AC=BG．理由如下：
作CF=CD，如图2，
∵∠BEA=∠BDC，∠BDC+∠ADC=180°
∴∠ADC+∠BEA=180°，
∴∠A+∠DGE=180°，
而∠BGD+∠DGE=180°，
∴∠A=∠BGD，
∵CD=CF，BD=CD，
∴∠2=∠3，BD=CF，
∴∠BDG=∠AFC，
在△BDG和△CFA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGD=∠A}\\{∠BDG=∠1}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CFA，
∴AC=BG．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．解决（2）小题的关键是构建△CFA与△BDG全等．