Question

求出满足以下两个条件的最大正整数n：
（1）n²可以表示成两个连续整数的立方之差；
（2）2n+79是完全平方数．

Answer 1

考点：完全平方数

专题：

分析：首先根据（1）n²可以表示成两个连续整数的立方之差设（m+1）³-m³=n²，再进一步根据平方数被3除余数为0或1，和（2）中的条件探究得出答案即可．

解答：解：由已知条件可设（m+1）³-m³=n²，
化简后可得3（2m+1）²=（2n-1）（2n+1），
由于2n-1和2n+1是两个连续的奇数，它们互质，因此它们其中之一是平方数，另一个数四某个平方数的3倍，若2n+1是平方数，则2n-1是某个平方数的3倍，这就说明2n+1模3余2，而这与平方数模3余0或1矛盾，因此2n-1是平方数，结合条件2，可设2n-1=p²，2n+79=q²，其中pq是正奇数．
由于80=q²-p²=（q-p）（q+p），且q-p和q+p均为偶数，
所以2q=（q-p）+（q+p）≤2+40=42，
因此q≤21，即n=

q2-79

2

≤181满足题目条件，故所求最大的n为181．

点评：此题考查完全平方数的性质，以及数的奇偶性解决问题．