Question

如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S₁、S₂、S₃、S₄，给出如下结论：
①S₁+S₄=S₂+S₃；
②S₂+S₄=S₁+S₃；
③若S₃=2S₁，则S₄=2S₂；
④若S₁=S₂，则P点在矩形的对角线上．
其中正确结论的序号是

 

（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：根据矩形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出②正确；根据S₁、S₃，只能判断出点P到AB、CD的距离，无法对S₂、S₄的大小作出判断可得③错误；根据④求出h₁、h₂的比，然后作出判断即可．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄，
则S₁=

1

2

ABh₁，S₂=

1

2

BCh₂，S₃=

1

2

CDh₃，S₄=

1

2

ADh₄，
∵

1

2

ABh₁+

1

2

CDh₃=

1

2

AB•BC，

1

2

BCh₂+

1

2

ADh₄=

1

2

AB•CD，
∴S₂+S₄=S₁+S₃，故①错误，②正确；
③若S₃=2S₁，则2h₁=h₃，
S₂、S₄的大小无法判断，故本小题错误；
④若S₁=S₂，则

1

2

ABh₁=

1

2

BCh₂，
∴

h1

h2

=

BC

AB

，
∴点P在对角线BD上，故④正确；
综上所述，正确的结论是②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查了矩形的性质，三角形的面积，以及矩形对角线上点的判定，用矩形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．