Question

17．已知：如图，在正方形ABCD外取-点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，已知AE=AP=BE=1．
（1）求证：△APD≌△AEB；
（2）连接PC，求线段PC的长度；
（3）试求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠BAD=90°，由AE⊥AP，得到∠EAP=90°，于是得到∠EAB=∠DAP，即可得到结论；
（2）连接PB，PC，由（1）证得△APD≌△AEB，于是得到PD=AE，∠ADO=∠ABE，推出△ABP≌△DCP，得到PB=PC，根据勾股定理即可得到结论；
（3）过A作AM⊥PE于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM=PM=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出DM=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由勾股定理得到AD=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，于是得到结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AP，
∴∠EAP=90°，
∴∠EAB=∠DAP，
在△APD与△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AP}\\{∠EAB=∠DAP}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AEB；

（2）连接PB，PC，由（1）证得△APD≌△AEB，
∴PD=AE，∠ADO=∠ABE，
∵AE=AP，
∴PD=AP，
∴∠PAD=∠PDA，
∴∠BAP=∠CDP，
在△ABP与△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAP=∠CDP}\\{AP=PD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DCP，
∴PB=PC，
∵∠BOE=∠AOP，
∴∠BEO=∠BAD=90°，
∵PE=$\sqrt{2}$AP=$\sqrt{2}$，
∴PB=$\sqrt{P{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴PC=PB=$\sqrt{3}$；

（3）过A作AM⊥PE于M，
∴AM=PM=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴DM=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AD=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，
∴正方形ABCD的面积=AD²=2$+\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．