Question

3．如图，△ABC中，D为边AB的中点，E为边BC上一点，ED延长线交CA延长线于点F，以下结论正确的有②④．
①若AB=BC，BE=DE，则AF=AD；
②若∠ACB=90°，CE=DE，则AD•BD=CE•CB；
③当$\frac{BE}{CE}$=$\frac{1}{3}$时，则$\frac{FA}{AC}$=$\frac{1}{3}$；
④当$\frac{CA}{CF}$=x，$\frac{CB}{CE}$=y时，则x+y=2．

Answer 1

分析 ①错误．如图1中，在△ADC中，只要证明∠F＜∠ADC即可说明．
②正确．如图2中，只要证明△DCE∽△BCD得$\frac{DC}{CB}$=$\frac{CE}{DC}$，再根据直角三角形斜边中线性质即可证明．
③错误．如图3中，只要证明△ADN≌△BDE，再根据$\frac{BE}{CE}$=$\frac{AN}{CE}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{3}$即可说明．
④正确，由如图3中，由$\frac{BE}{AE}$=$\frac{AF}{FC}$，结合条件即可证明．

解答 解：①如图1中，
∵BE=BD，
∴∠BDE=∠BED=∠ADC，
∵∠BED=∠F+∠F，
∴∠F＜∠BED，
∴∠F＜∠ADF，
∴AD＜AF，故①错误．
②如图2中，

∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴DC=AD=DB，
∴∠DCB=∠B，
∵EC=ED，
∴∠DCE=∠CDE，
∴∠CDE=∠B，∵∠DCE=∠BCD，
∴△DCE∽△BCD，
∴$\frac{DC}{CB}$=$\frac{CE}{DC}$，
∴DC²=CE•CB，
∴AD•DB=EC•CB，故②正确．
③如图3中，

作AN∥BC交EF于N．
∵AN∥CB，
∴∠NAD=∠EBD，
在△ADN和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADN=∠BDE}\\{∠NAD=∠EBD}\\{AD=DB}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△BDE，
∴AN=BE，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{AN}{CE}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{3}$，
∴AF：AC=1：2，故③错误．
④由③可知：$\frac{BE}{CE}$=$\frac{AF}{FC}$，
∵$\frac{CA}{CF}$=x，$\frac{CB}{CE}$=y，
∴$\frac{y-1}{1}$=$\frac{1-x}{1}$，
∴x+y=2，故④正确．
故答案为②④．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，学会添加常用辅助线是解题的关键，利用全等三角形的性质，平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考常考题型．