Question

3．如图①，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向点C、B运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）
（1）当t=2时，PQ的长为2$\sqrt{10}$；
（2）在运动过程中，若△BPQ为等腰三角形，求相应的时刻t；
（3）如图②，连接BD，是否存在某个时刻t，使得PQ垂直平分BD？若能，求t的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）作PH⊥AB于H，求出QH、PH，根据勾股定理求出PQ；
（2）分PQ=PB、BP=BQ和QP=QB三种情况进行分析即可；
（3）假设存在某个时刻t，使得PQ垂直平分BD，进行解答，看t是否存在即可．

解答 解：（1）如图①，作PH⊥AB于H，
由题意得，DP=4，AQ=2，
则QH=2，又PH=AD=6，
由勾股定理的，PQ=$\sqrt{P{H}^{2}+Q{H}^{2}}$=2$\sqrt{10}$；
（2）当PQ=PB时，
如图①，QH=BH，
则t+2t=8，
解得，t=$\frac{8}{3}$；
当PQ=BQ时，
（2t-t）²+6²=（8-t）²，
解得，t=$\frac{7}{4}$；
当BP=BQ时，
（8-2t）²+6²=（8-t）²，
方程无解；
∴当t=$\frac{8}{3}$或$\frac{7}{4}$时，△BPQ为等腰三角形；
（3）假设PQ垂直平分BD，则QB=QD，PD=PB，
在Rt△ADQ中，t²+36=（8-t）²，
解得，t=$\frac{7}{4}$，
在Rt△CPB中，（8-2t）²+36=（2t）²，
解得，t=$\frac{25}{8}$，
∴不存在某个时刻t，使得PQ垂直平分BD．

点评 本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定和垂直平分线的性质，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．