题目内容
7．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为钝角三角形．
（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：
当a=2，b=3时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？
分析 （1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．
解答 
解：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：锐角；钝角；
（2）∵c为最长边，2+3=5，
∴3≤c＜5，
a2+b2=22+32=13，
①a2+b2＞c2，即c2＜13，0＜c＜$\sqrt{13}$，
∴当3≤c＜$\sqrt{13}$时，这个三角形是锐角三角形；
②a2+b2=c2，即c2=13，c=$\sqrt{13}$，
∴当c=$\sqrt{13}$时，这个三角形是直角三角形；
③a2+b2＜c2，即c2＞13，c＞$\sqrt{13}$，
∴当$\sqrt{13}$＜c＜5时，这个三角形是钝角三角形．
点评 本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．
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