Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N同时从点B出发，分别在BC、BA上运动，若点M的运动速度为每秒2个单位长度，且是点N运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以MN为对称轴做△MNB的对称图形△MNB′．
（1）点B′恰好在AD上的时间为

 

秒；
（2）在整个运动过程中，求△MNB′与矩形ABCD重叠部分的面积及最大值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）如图，当B′与AD交于点E，作FM⊥AD于F，根据轴对称的性质可以得出ME=MB=2t，由勾股定理就可以表示出EF，就可以表示出AE，再由勾股定理就可以求出t的值；
（2）根据三角形的面积公式，分情况讨论，当0＜t≤

15

4

和

15

4

＜t≤4时由求分段函数的方法就可以求出结论．

解答：解：（1）如图，当B′与AD交于点E，作FM⊥AD于F，
∴∠DFM=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB．AD=BC．∠D=∠C=90°．
∴四边形DCMF是矩形，
∴CD=MF．
∵△MNB与△MNE关于MN对称，
∴△MNB≌△MNE，
∴ME=MB，NE=BN．
∵BN=t，BM=2t，
∴EN=t，ME=2t．
∵AB=6，BC=8，
∴CD=MF=6，CB=DA=8．AN=6-t
在Rt△MEF和Rt△AEN中，由勾股定理，得
EF=

4t2-36

，AE=

12t-36

，
∴

4t2-36

+

12t-36

=2t，
∴4t

12t-36

=12t，
∴t=

15

4

．
∴AE=3，AN=

9

4

．
故答案为：

15

4

；
（2）∵△MNE与△MNB关于MN对称，
∴∠MEN=∠MBN=90°．
∵∠MEN+∠MBN+∠EMB+∠ENB=360°，
∴∠EMB+∠ENB=180°．
∵∠ENA+∠ENB=180°，
∴∠ENA=∠EMB．
∵tan∠ENA=

4

3

，
∴tan∠EMB=

4

3

．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EFG=∠EMB．
∵BN=t，BM=2t，
∴EN=t，ME=2t．
∵AB=6，BC=8，
∴CD=MF=6，CB=DA=8．AN=6-t
∴GA=

4

3

（6-t），GN=

5

3

（6-t），
∵EG=EN-GN=t-

5

3

（6-t）=

8

3

t-10，
∴EF=（

8

3

t-10）×

3

4

=2t-

15

2

．
∴当

15

4

＜t≤4时，
S=t²-

1

2

（2t-

15

2

）（

8

3

t-10）=-

5

3

（t-6）²+

45

2

，
∴t=4时，S_最大=

95

6

．
当0＜t≤

15

4

时，S=t²．
∴t=

15

4

时，S_最大=

225

16

．
∵

95

6

＞

225

16

．
∴最大值为

95

6

．

点评：本题考查了的矩形的性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．