Question

19．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
（3）如果这个方程的两个实数根分别为x₁，x₂，且（x₁-3）（x₂-3）=5m，求m的值．

Answer 1

分析 （1）当AB=AD时，四边形ABCD是菱形，即方程 x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的两个相等实数根，根据根的判别式为0可得关于m的方程，解之可得m的值，再还原方程，求解可得；
（2）根据根与系数的关系可得$\left\{\begin{array}{l}{2+AD=m}\\{2AD=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解之可得AD的长，继而得出周长；
（3）由根与系数的关系可得x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$，代入到（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5m，解之可得．

解答 解：（1）当AB=AD时，四边形ABCD是菱形，即方程 x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的两个相等实数根，
∴m²-4（$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$）=0，
解得：m=1，
此时方程为x²-x+$\frac{1}{4}$=0，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
∴这时菱形的边长为$\frac{1}{2}$；

（2）根据题意知，$\left\{\begin{array}{l}{2+AD=m}\\{2AD=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得：AD=$\frac{1}{2}$，
∴平行四边形ABCD的周长是2×（2+$\frac{1}{2}$）=5；

（3）∵方程的两个实数根分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$，
代入到（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5m，可得$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$-3m+9=5m，
解得：m=$\frac{7}{6}$．

点评 本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，理解题意得出相应的方程是解题的关键．