Question

9．阅读材料：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，那么有x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x₁，x₂是方程x²+6x-3=0的两根，求x₁²+x₂²的值．解法可以这样：
∵x₁+x₂=-6，x₁x₂=-3，则x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-6）²-2×（-3）=42．
请你根据以上解法解答下题：
已知x₁，x₂是方程x²+x-1=0的两根，求：
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的值；
（2）（x₁-x₂）²的值．
（3）试求x₂²-x₁²的值．

Answer 1

分析 （1）由根与系数的关系可得x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1，将其代入到$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$即可得；
（2）将x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1代入到（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂即可得；
（3）根据x₂²-x₁²=-（x₁²-x₂²），结合（2）中结果即可得．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是方程x²+x-1=0的两根，
∴x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1，
则$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-1}{-1}$=1；

（2）（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1+4=5；

（3）x₂²-x₁²=-（x₁²-x₂²）=-5．

点评 本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．