Question

【题目】规定两数之间的一种运算，记作（）；如果，那么（），例如因为，所以（2，8）=3.

（1）根据上述规定，填空：（4，16）= ，（7，1）= ，（ ，81）=4.

（2）小明在研究这种运算时发现一个现象，（,）=（3，4），小明给出了如下的证明：

设（,），所以，即，所以，

即（3，4），所以（,）=（3，4），请你尝试运用这种方法解决下列问题：

①证明：（6，45）-（6，9）=（6，5）

②猜想：（,）+（,）=（ ， ）（结果化成最简形式）

Answer 1

【答案】（1）2，0，；（2）①见解析；②.

【解析】

（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；

（2）①根据同底数幂的乘法法则，结合定义证明；

②根据例题和①中证明的式子作为公式进行变形即可．

解：（1）因为42=16，所以【4，16】=2．

因为70=1，所以【7，1】=0．

因为(±3)4=81，所以【±3，81】=4．

故答案为：2，0，±3；

（2）①证明：设【6，9】=x，【6，5】=y，则6x=9，6y=5，

∴5×9=45=6x6y=6x+y，

∴【6，45】=x+y，

则：【6，45】=【6，9】+【6，5】，

∴【6，45】-【6，9】=【6，5】；

②∵【3n，4n】=【3，4】，

∴【（x+1）m，（y-1）m】

=【（x+1），（y-1）】，【（x+1）n，（y-2）n】

=【（x+1），（y-2）】，

∴【（x+1）m，（y-1）m】+【（x+1）n，（y-2）n】，

=【（x+1），（y-1）】+【（x+1），（y-2）】，

=【（x+1），（y-1）（y-2）】，

=【（x+1），（y2-3y+2）】．

故答案为：（x+1），（y2-3y+2）．