Question

如图，在四边形ABCD中，AB+CD＜AD，AE平分∠BAD，DE平分∠CDA，E是BC中点，∠AED=120°，求证：AB+CD+

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BC=AD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：在AD上分别截取AM=AB，DN=DC，（M、N均在AD上），连接EM，EN；先证明△ABE≌△AME和△NDE≌△CDE，证出EM=EN，再证∠MEN=60°，证出△MEN为等边三角形，得出MN=EM=EN，即可证出结论．

解答： 证明：在AD上分别截取AM=AB，DN=DC，（M、N均在AD上），连接EM，EN；如图所示：
∵AE平分∠BAD，DE平分∠CDA，
∴∠BAE=∠MAE，∠NDE=∠CDE，
在△ABE和△AME中，

AB=AM   ∠BAE=∠MAE   AE=AE

，
∴△ABE≌△AME（SAS），
∴BE=ME，∠AEB=∠AEM，
在△NDE和△CDE中，

DN=CD   ∠NDE=∠CDE   DE=DE

，
∴△NDE≌△CDE，
∴EN=EC，∠DEN=∠DEC，
∵E是BC中点，
∴BE=EC，
∴EM=EN，
∵∠MEN+∠AEM+∠DEN=120°①，
∠MEN+2∠AEM+2∠DEN=180°②，
∴①×2-②得：∠MEN=60°，
∴△MEN为等边三角形，
∴MN=EM=EN，
∴MN=BE，
∴AB+CD+

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2

BC=AM+DN+MN=AD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．