Question

E是正方形对角线DB延长线上的一点，以AE为边作等边三角形△AEF，连接CE，CF．CF与AE交于点O．求证：EF=CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：因为△AEF是等边三角形，所以EF=AE，则欲证明EF=CE，只需证得AE=CE．所以通过ASA证明△AEB≌△CEB即可推知AE=CE．

解答： 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB．
又∵E是正方形对角线DB延长线上的一点，
∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABD+∠ABE=∠CBD+∠CBE=180°，
∴∠ABE=∠CBE．
在△AEB与△CEB中，

AB=CB ∠ABE=∠CBE BE=BE

，
∴△AEB≌△CEB（ASA），
∴AE=CE．
又∵△AEF是等边三角形，
∴EF=AE，
∴EF=CE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．