Question

某区为提高某段海堤的防海啸能力，计划修96m长的一堤段（原海堤的横断面如图所示中的梯形ABCD）的堤面加宽1.6m，背水坡比由原来的1：1改为1：2，已知背水坡长AD=8.0m，求完成这一工程所需的土方（要求保留两个有效数字，本题可能使用的数据

2

=1.41，

3

=1.73，

5

=2.24）．

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题

专题：

分析：过点D、E向下底引垂线，得到两个直角三角形，利用三角函数分别求得增加的下底宽和高的相应线段．所需的土方=增加横截面的面积×长度96．

解答：解：分别作DM⊥AB交AB于M，EN⊥AB交AB于N．
∵

DM

DN

=1，
∴∠DAM=45°，△ADM为等腰三角形，
∵AD=8，
∴DM=AM=4

2

．
又∵CD∥AB，
∴EN=DM=4

2

，
DE=MN=1.6．
在Rt△FNE中，

EN

FN

=

1

2

，
∴FN=2EN=8

2

．
∴FA=FN+NM-AM=8

2

+1.6-4

2

=4

2

+1.6≈7.26．
S_{四边形ADEF}=

1

2

（AF+DE）•EN=

1

2

（7.26+1.6）×5.66≈25.07（m²）．
V_体积=S_{四边形ADEF}×96=25.07×96=2.40672×10³≈2.4×10³（m³）．
答：完成这一工程需2.4×10³m³的土方．

点评：本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法．