Question

如图，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）先求出点C的坐标，然后求出△ABC的面积，再判断出△BCE的面积最大时四边形ABEC的面积最大，设过点E与y轴平行的直线与直线BC相交于点F，利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，然后表示出EF，再表示出△BCE的面积，然后利用二次函数的最值问题求出△BCE的面积的最大值以及点E的横坐标，再求解即可．

解答：解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0），B（2，0），
∴

-1-b+c=0 -4+2b+c=0

，
解得

b=1 c=2

．
所以，y=-x²+x+2；

（2）令x=0，则y=2，
所以，点C的坐标为（0，2），
∵AB=2-（-1）=3，
∴S_△ABC=

1

2

×3×2=3，
∴△BCE的面积最大时四边形ABEC的面积最大，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

2k+b=0 b=2

，
解得

k=-1 b=2

，
所以，直线BC的解析式为y=-x+2，
设过点E与y轴平行的直线与直线BC相交于点F，
则EF=（-x²+x+2）-（-x+2）=-x²+2x，
所以，S_△BCE=

1

2

×（-x²+2x）×2=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴当x=1时，△BCE的面积最大为1，
此时，y=-1+1+2=2，
点E的坐标为（1，2），四边形ABEC的最大面积为3+1=4．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，难点在于判断出△BCE的面积最大时四边形ABEC的面积最大并表示出△BCE的面积．