Question

19．在△ABC中，若$\sqrt{3cosA-2}$+|3-5sinB|=0，分别写出∠A、∠B的四个三角函数的值．

Answer 1

分析 首先，根据$\sqrt{3cosA-2}$+|3-5sinB|=0，得到cosA=$\frac{2}{3}$，sinB=$\frac{3}{5}$，然后，结合同角三角函数基本关系式求解即可．

解答 解：∵$\sqrt{3cosA-2}$≥0，|3-5sinB|≥0，
∴$\sqrt{3cosA-2}$=0，|3-5sinB|=0，
∴3cosA-2=0，5sinB-3=0，
∴cosA=$\frac{2}{3}$，sinB=$\frac{3}{5}$，
∵在△ABC中，
∴sinA=$\sqrt{1-{cos}^{2}A}$=$\sqrt{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵cosA=$\frac{2}{3}$，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{π}{4}$＜A＜$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$＜B＜$\frac{5π}{6}$（舍）
∴cosB=$\sqrt{1-{sin}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$．
∴tanA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，cotA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，tanB=$\frac{3}{4}$，cotB=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查的是解直角三角形，重点考查了三角函数的基本关系，三角形的性质等知识，属于中档题．