Question

17．某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．
（1）图中点P所表示的实际意义是当售价定为35元/件时，销售数量为300件；销售单价每提高1元时，销售量相应减少20件；
（2）请直接写出y与x之间的函数表达式y=-20x+1000；自变量x的取值范围为30≤x≤50；
（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据坐标系中点的坐标的意义，即可写出点P的实际意义，再根据“销售单价每提升一元的销售减少量=销售减少数量÷增加价钱”即可列式算出结论；
（2）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，根据图象上点的坐标利用待定系数法即可求出该函数表达式，令y=0求出x值，即可得出自变量x的取值范围；
（3）设第二个月的利润为w元，根据“利润=单个利润×销售数量”即可得出w关于x的函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；
第一个月的该商品的售价为：20×（1+50%）=30（元），
销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为：（400-300）÷（35-30）=20（件）．
故答案为：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；20．
（2）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，
将点（30，400）、（35，300）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{400=30k+b}\\{300=35k+b}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{k=-20}\\{b=1000}\end{array}\right.$，
∴y与x之间的函数表达式为y=-20x+1000．
当y=0时，x=50，
∴自变量x的取值范围为30≤x≤50．
故答案为：y=-20x+1000；30≤x≤50．
（3）设第二个月的利润为w元，
由已知得：w=（x-20）y=（x-20）（-20x+1000）=-20x²+1400x-20000=-20（x-35）²+4500，
∵-20＜0，
∴当x=35时，w取最大值，最大值为4500．
故第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元．

点评 本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）熟悉坐标系中点的坐标的意义；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；（3）根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象上点的坐标利用待定系数法求出函数解析式．