Question

6．观察下列各数：
133可以分成13和3两部分，13-3×2=7×1，133能被7整除；
245可以分成24和5两部分，24-5×2=14=7×2，245能被7整除；
2394可以分成239和4两部分，239-4×2=231=7×33，2394能被7整除；
6139可以分成613和9两部分，613-9×2=595=7×75，6139能被7整除；
…
（1）求证：对于任意一个自然数，将其个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原自然数能被7整除；
（2）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K（K为正整数，1≤K≤15）倍，所得之和能被7整除，求当K为何值时使得原多位自然数一定能被7整除．

Answer 1

分析 （1）设这个自然数个位之前及个位数分别为m、n，由题意m-2n是7的倍数，则21m-（m-2n）也是7的倍数，即2（10m+n）是7的倍数，由此即可解决问题．
（2）设个位之前及个位数分别为m、n，由题意不妨设m+kn=7a，则原多位数为10m+n，由题意不妨设10m+n=7b，联立可得：b=10a-$\frac{n}{7}$（10k-1），由此即可即可解决问题．

解答 解：（1）以下出现的字母均为自然数，设这个自然数个位之前及个位数分别为m、n，
依题意m-2n是7的倍数，
则21m-（m-2n）也是7的倍数，
∵20m+2n=2（10m+n），2不是7的不是，
∴10m+2n是7的倍数．

（2）设个位之前及个位数分别为m、n，
依题意不妨设m+kn=7a，
则原多位数为10m+n，
依题意不妨设10m+n=7b，
联立可得：b=10a-$\frac{n}{7}$（10k-1），
则10k-1为7倍数，分别将 k=1、2、3、4、5…15代入可知，只有k=5或12时符合条件．

点评 此题主要考查了数的整除性，利用参数是解决问题的关键，题目比较抽象，有一定难度．