Question

9．如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA的长度得到△EFA．连结BF，BE．
（1）求四边形CEFB的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质得△ACB≌△EFA，BF=AC，BF∥AC，则可判断四边形AFBC为平行四边形，得到S_△ACB=S_△AFB，于是有四边形CEFB的面积=3S_△ACB=9；
（2）根据平移的性质得AB=EF，BF=AC=AE，而AB=AC，则有AB=AE=EF=BF，于是可根据菱形的判定得到四边形AEFB为菱形，然后根据菱形的性质可判断AF与BE互相垂直平分．

解答 解：（1）∵△ABC沿CA方向平移CA的长度得到△EFA，
∴△ACB≌△EFA，BF=AC，BF∥AC，
∴四边形AFBC为平行四边形，
∴S_△ACB=S_△AFB，
∴四边形CEFB的面积=3S_△ACB=3×3=9；
（2）AF与BE互相垂直平分．理由如下：
∵△ABC沿CA方向平移CA的长度得到△EFA，
∴AB=EF，BF=AC=AE，
而AB=AC，
∴AB=AE=EF=BF，
∴四边形AEFB为菱形，
∴AF与BE互相垂直平分．

点评 本题考查了菱形的判定与性质：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．也考查了平移的性质．