Question

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，若AB=10cm．
（1）求AC的长；
（2）求△BDE的周长．

Answer 1

考点：角平分线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）设AC=xcm，则BC=AC=xcm．在直角△ABC中，利用勾股定理得出AC²+BC²=AB²，即x²+x²=10²，解方程即可求解；
（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=ED，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出△DEB的周长=AB=10cm．

解答：解：（1）设AC=xcm，则BC=AC=xcm．
∵在△ABC，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，即x²+x²=10²，
解得x=5

2

，
故AC的长为5

2

cm；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，∠C=90°，
∴CD=ED．
在Rt△ACD和Rt△AED中，

AD=AD CD=ED

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
又∵AC=BC，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，难度适中，求出△DEB的周长=AB是解题的关键．