Question

10．某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x=2n²-2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据．

月份n（月）	1	2
成本y（万元/件）	11	12
需求量x（件/月）	120	100

（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m．

Answer 1

分析 （1）设y=a+$\frac{b}{x}$，将表中相关数据代入可求得a、b，根据12=18-（6+$\frac{600}{x}$），则$\frac{600}{x}$=0可作出判断；
（2）将n=1、x=120代入x=2n²-2kn+9（k+3）可求得k的值，先由18=6+$\frac{600}{x}$求得x=50，根据50=2n²-26n+144可判断；
（3）第m个月的利润W=x（18-y）=18x-x（6+$\frac{600}{x}$）=24（m²-13m+47），第（m+1）个月的利润为W′=24[（m+1）²-13（m+1）+47]=24（m²-11m+35），分情况作差结合m的范围，由一次函数性质可得．

解答 解：（1）由题意，设y=a+$\frac{b}{x}$，
由表中数据可得：$\left\{\begin{array}{l}{11=a+\frac{b}{120}}\\{12=a+\frac{b}{100}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=600}\end{array}\right.$，
∴y=6+$\frac{600}{x}$，
由题意，若12=18-（6+$\frac{600}{x}$），则$\frac{600}{x}$=0，
∵x＞0，
∴$\frac{600}{x}$＞0，
∴不可能；

（2）将n=1、x=120代入x=2n²-2kn+9（k+3），得：120=2-2k+9k+27，
解得：k=13，
∴x=2n²-26n+144，
将n=2、x=100代入x=2n²-26n+144也符合，
∴k=13；
由题意，得：18=6+$\frac{600}{x}$，
解得：x=50，
∴50=2n²-26n+144，即n²-13n+47=0，
∵△=（-13）²-4×1×47＜0，
∴方程无实数根，
∴不存在；

（3）第m个月的利润为W，
W=x（18-y）=18x-x（6+$\frac{600}{x}$）
=12（x-50）
=24（m²-13m+47），
∴第（m+1）个月的利润为W′=24[（m+1）²-13（m+1）+47]=24（m²-11m+35），
若W≥W′，W-W′=48（6-m），m取最小1，W-W′取得最大值240；
若W＜W′，W′-W=48（m-6），由m+1≤12知m取最大11，W′-W取得最大值240；
∴m=1或11．

点评 本题主要考查二次函数的应用，理解题意准确梳理所涉变量，并熟练掌握待定系数法求函数解析式、利润的相等关系列出解析式是解题的关键．