Question

18．如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．
（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．
（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1中，设PD=t．则PA=6-t．首先证明BP=BC=6，在Rt△ABP中利用勾股定理即可解决问题；
（2）分两种情形求出AD的值即可解决问题：①如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．②如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3；

解答 解：（1）如图1中，设PD=t．则PA=6-t．

∵P、B、E共线，
∴∠BPC=∠DPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∴∠BPC=∠PCB，
∴BP=BC=6，
在Rt△ABP中，∵AB²+AP²=PB²，
∴4²+（6-t）²=6²，
∴t=6-2$\sqrt{5}$或6+2$\sqrt{5}$（舍弃），
∴PD=6-2$\sqrt{5}$，
∴t=（6-2$\sqrt{5}$）s时，B、E、P共线．

（2）如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．
作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ=3，CE=DC=4

易证四边形EMCQ是矩形，
∴CM=EQ=3，∠M=90°，
∴EM=$\sqrt{E{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，
∴△ADC∽△DME，
$\frac{AD}{DM}$=$\frac{DC}{EM}$，
∴$\frac{AD}{7}$=$\frac{4}{\sqrt{7}}$，
∴AD=4$\sqrt{7}$，
如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．
作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M．则EQ=3，CE=DC=4

在Rt△ECQ中，QC=DM=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
由△DME∽△CDA，
∴$\frac{DM}{CD}$=$\frac{EM}{AD}$，
∴$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{1}{AD}$，
∴AD=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围$\frac{4\sqrt{7}}{7}$≤m＜4$\sqrt{7}$．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．