Question

1．宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y=$\left\{\begin{array}{l}7.5x（{0≤x≤4}）\\ 5x+10（{4＜x≤14}）\end{array}$．
（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？
（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据y=70求得x即可；
（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．

解答 解：（1）根据题意，得：
∵若7.5x=70，得：x=$\frac{28}{3}$＞4，不符合题意；
∴5x+10=70，
解得：x=12，
答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；

（2）由函数图象知，当0≤x≤4时，P=40，
当4＜x≤14时，设P=kx+b，
将（4，40）、（14，50）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=40}\\{14k+b=50}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=36}\end{array}\right.$，
∴P=x+36；
①当0≤x≤4时，W=（60-40）•7.5x=150x，
∵W随x的增大而增大，
∴当x=4时，W_最大=600元；
②当4＜x≤14时，W=（60-x-36）（5x+10）=-5x²+110x+240=-5（x-11）²+845，
∴当x=11时，W_最大=845，
∵845＞600，
∴当x=11时，W取得最大值，845元，
答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．

点评 本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，记住利润=出厂价-成本，学会利用函数的性质解决最值问题．