Question

7．如图，在菱形ABCD中，∠B=120°，AB=4，点E是BC的中点，点F在CD边上，点C关于EF的对称点为C′，连接EC′，FC′，当点F从C运动到点D的过程中，AC′长度的最大值与最小值的差为4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{7}$+2．

Answer 1

分析 先确定最大值：①当F与C重合时，C′与C重合，AC′=AC最大，作对角线求AC即可；
②如图2因为C与C′关于EF对称，所以当点F从C运动到点D的过程中，C′在以E为圆心，以EC为半径的圆上运动，当点C′在AE上时，AC′最小，构建直角三角形利用勾股定理求AE和C′E的长，根据AC′=AE-C′E=2$\sqrt{7}$-2，最后计算最大值与最小值的差即可．

解答 解：①如图1，当F与C重合时，C′与C重合，AC′=AC最大，
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}×120°$=60°，
Rt△AOB中，∠BAO=30°，
∴OB=2，
∴AO=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AC′=AC=4$\sqrt{3}$；

②如图2，因为C与C′关于EF对称，所以当点F从C运动到点D的过程中，C′在以E为圆心，以EC为半径的圆上运动，
∵AE、C′E的长度为定值，
∴当点C′在AE上时，AC′最小，
过点A作AG⊥BC，交CB的延长线于点G，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=120°、AB=4，
∴∠ABG=60°，BG=2，AG=2$\sqrt{3}$，
∴GE=2+1=3，
∴AE=$\sqrt{A{G}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
则AC′=AE-C′E=2$\sqrt{7}$-2，
∴4$\sqrt{3}$-（2$\sqrt{7}$-2）=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{7}$+2，
AC′长度的最大值与最小值的差为：4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{7}$+2，
故答案为：4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{7}$+2．

点评 此题主要考查了菱形的性质、轴对称的性质、勾股定理及直角三角形30°角的性质，确定最大值和最小值时点C′的位置是解题关键．