Question

1．在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（5，0），连接AB．
（1）将绕点O按逆时针方向旋转，得到△OCD，（点A落到点C处），求经过B、C、D三点的抛物线的解析式．
（2）现将（1）中抛物线向右平移两个单位，点C的对应点为E，点B的对应点为N，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F；P、Q为平移后抛物线对称轴上的两个动点，（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形PQFE的周长最小，求出P、Q两点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的旋转求得C、D的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）将（1）题所得的抛物线解析式化为顶点式，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出平移后的抛物线解析式；联立两个函数的解析式即可得到F点的坐标；根据E点的坐标求得N点的坐标，N向上平移一个单位得N′（7，1），那么直线N′F与此对称轴的交点即为所求的Q点，可先求出直线N′F的解析式，联立这条对称轴的解析式即可得到Q、P点的坐标；

解答 解：（1）∵点A（0，3），B（5，0），
∴OA=3，OB=5，
∴OC=OA=3，OD=OB=5，
∴C（-3，0），D（0，5），
∵抛物线经过B、C、D三点，
∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-5），
代入D（0，5）得，5=-15a，
解得a=-$\frac{1}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x+3）（x-5），
即y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+5；
（2）由题意可知E点的坐标为（-1，0）
平移前抛物线为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+5=-$\frac{1}{3}$（x-1）²+$\frac{16}{3}$，
∴向右平移2个单位后的抛物线为y=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+$\frac{16}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}（x-1）^{2}+\frac{16}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}（x-3）^{2}+\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$；
∴F（2，5）
∴点E关于对称轴直线x=3的对称点N（7，0），N向上平移一个单位得N′（7，1），
连接N′F交对称轴于Q点，然后过N作N′F的平行线交对称轴于P点，连接PE，此时四边形PQFE的周长最小，
设直线N′F的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{7k+b=1}\\{2k+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{5}}\\{b=\frac{23}{5}}\end{array}\right.$；
∴直线N′F的解析式为y=-$\frac{4}{5}$x+$\frac{23}{5}$；
当x=3时，y=$\frac{11}{5}$，
∴Q（3，$\frac{11}{5}$），P（3，$\frac{6}{5}$）．

点评 此题主要考查了图形的旋转变换、二次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、轴对称的性质、函数图象交点坐标的求法等重要知识点，根据题意作出P、Q是解题的关键．