Question

18．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠AEB=∠ADC．
（1）求证：△ADE∽△DBC；
（2）连结EC，若CD²=AD•BC，求证：∠DCE=∠ADB．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出∠ADE=∠DBC，∠ADC+∠C=180°，再由已知条件和邻补角关系得出∠AED=∠C，即可得出△ADE∽△DBC；
（2）由（1）得：△ADE∽△DBC，由相似三角形的对应边成比例得出DB•DE=AD•BC，再由已知条件得出$\frac{CD}{DE}=\frac{DB}{CD}$，由公共角相等得出△CDE∽△BDC，得出∠DCE=∠DBC，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DBC，∠ADC+∠C=180°，
∵∠AEB=∠ADC，∠AEB+∠AED=180°，
∴∠AED=∠C，
∴△ADE∽△DBC；
（2）证明：连接EC，如图所示：
由（1）得：△ADE∽△DBC，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{DE}{BC}$，
∴DB•DE=AD•BC，
∵CD²=AD•BC，
∴CD²=DB•DE，
∴$\frac{CD}{DE}=\frac{DB}{CD}$，
又∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DCE=∠DBC，
又∵∠ADB=∠DBC，
∴∠DCE=∠ADB．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、邻补角关系；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．