Question

3．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
（1）如图①，若点O在BC上，求证：∠ABO=∠ACO；
（2）如图②，若点O在△ABC的内部，求证：∠ABO=∠ACO．

Answer 1

分析 （1）先利用斜边直角边定理证明△OEB和△OFC全等，根据全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，再根据等边对等角的性质和等式的性质即可得到；
（2）过O作OE⊥AB，OF⊥AC，与（1）的证明思路基本相同．

解答 证明：（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，如图①

∵点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
又∵OB=OC，
在Rt△OEB与Rt△OFC中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等），
∴∠ABO=∠ACO；
（2）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，如图②

由题意知，OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
∵OE=OF，OB=OC，
在Rt△OEB与Rt△OFC中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠OBE=∠OCF，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠B-∠OBC=∠C-∠OCB，
即∠ABO=∠ACO．

点评 本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的判定与性质，等角对等边的性质，熟练掌握性质作出辅助线是解题的关键．