Question

4．如图，点0是△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线的交点，
（1）如果∠A=60°，则∠BOC=120°；
（2）若∠A为锐角，求∠BOC的范围．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BOC的度数；
（2）由（1）得出∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，根据A的取值范围得出∠BOC的范围．

解答 解：（1）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°．
（2）由（1）可知，
∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90+$\frac{1}{2}$∠A，
∵0°＜∠A＜90°，
∴90°＜∠BOC＜135°．

点评 此题考查三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键．