Question

18．如图，已知AB⊥AC于点A，DC⊥AC于点C，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，BE的延长线交DC的延长线于点F．求证：AB=CF．

Answer 1

分析 先证出AB∥DC，得出∠ABE=∠F，再证出∠F=∠DBF，得出DB=DF，由等腰三角形的三线合一性质得出BE=FE，由ASA证明△ABE≌△FCE，得出对应边相等即可．

解答 证明：∵AB⊥AC于点A，DC⊥AC于点C，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠F，
∵BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠ABE，
∴∠F=∠DBF，
∴DB=DF，
∵DE平分∠BDC，
∴BE=FE（三线合一），
在△ABE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠F}&{\;}\\{BE=FE}&{\;}\\{∠AEB=∠CEF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=CF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．