Question

【题目】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，且BD＝DE，过点B作BP∥DE，交⊙O于点P，连结OP．

（1）求证：AB＝AC；

（2）若∠A＝30°，求∠BOP的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠BOP＝90°

【解析】

（1）连结AD，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，求出∠BAD=∠CAD，△ADB≌△ADC即可；

（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=75°，再根据圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠BAC=30°，然后利用平行线的性质得到∠PBC=∠EDC=30°，所以∠OBP=∠ABC-∠PBC=45°，于是可判断△OBP为等腰直角三角形，则∠BOP=90°．

（1）证明：连接AD，

∵BD＝DE，

∴

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°＝∠CDA，

在△ADB和△ADC中

∴△ADB≌△ADC（ASA），

∵AB＝AC；

（2）解：∵∠BAC＝30°，AB＝AC，

∴∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°，

∵四边形ABDE为圆O的内接四边形，

∴∠EDC＝∠BAC＝30°，

∵BP∥DE，

∴∠PBC＝∠EDC＝30°，

∴∠OBP＝∠ABC﹣∠PBC＝45°，

∵OB＝OP，

∴△OBP为等腰直角三角形，

∴∠BOP＝90°．