Question

15．如图，将?ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连结AE，交BC于点F．
（1）求证：BF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）若∠AFC=2∠D，连结AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，即可证得四边形ABEC是平行四边形，继而证得结论；
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC；

（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠AFC=2∠ADC，
∴∠AFC=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定．关键是利用平行四边形的性质，通过角的关系证矩形．