Question

5．已知⊙A、⊙B、⊙C的半径都是3，且相互外切．在此三个圆所在的平面上，取与这三个圆上至少一点的距离为2$\sqrt{3}$-3的所有点，试求全部取出的点所构成的区域面积．

Answer 1

分析 由已知条件得到△ABC为正三角形，边长为6，设△ABC的中心为O，解直角三角形得到OA=OB=OC=2$\sqrt{3}$，如图，作O点关于AB，BC，CA的对称点O₁，O₂，O₃，连接AO₁，O₁B，B₂，O₂C，CO₃，O₃A，于是得到所求结论．

解答 解：由题设知，△ABC为正三角形，边长为6，
设△ABC的中心为O，OA=OB=OC=2$\sqrt{3}$，
如图，作O点关于AB，BC，CA的对称点O₁，O₂，O₃，连接AO₁，O₁B，B₂，O₂C，CO₃，O₃A，
故所求区域为O₁BO₂，O₂CO₃，O₃AO₁（半径为2$\sqrt{3}$，圆心角为$\frac{4π}{3}$）
及正六边形AO₁BO₂CO₃去掉三个圆⊙A，⊙B，⊙C（半径为6-2$\sqrt{3}$）
其面积为3×$\frac{2π}{3}$（2$\sqrt{3}$）²+6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2$\sqrt{3}$）²-3π（6-2$\sqrt{3}$）²
=24π+18$\sqrt{3}$-36π（4-2$\sqrt{3}$）
=18$\sqrt{3}+π$（72$\sqrt{3}$-120）．

点评 本题考查了相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，圆心角定义，正确的周长图形是解题的关键．