Question

2．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；
（2）过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．

解答 解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$DC=2米；
（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，
∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，
设BF=DF=x米，
∵四边形DEAF为矩形，
∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴BC=$\frac{AB}{cos30°}$=$\frac{x+2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2x+4}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}（2x+4）}{3}$米，
BD=$\sqrt{2}$BF=$\sqrt{2}$x米，DC=4米，
∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，
∴∠DCB=90°，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x²=$\frac{（2x+4）^{2}}{3}$+16，
解得：x=4+4$\sqrt{3}$，
则AB=（6+4$\sqrt{3}$）米．

点评 此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．