Question

如图，直线y=kx+b与双曲线y=

m

x

交于点A（-1，-5）、D（5，1），并分别与x轴、y轴交于点C、B．
（1）求出k、b、m的值；
（2）根据图象直接写出不等式kx+b＜

m

x

的解集为

 

；
（3）若点E在x轴的正半轴上，是否存在以点E、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）利用待定系数法即可求解；
（2）不等式的解就是对相同的x的值，反比例函数的图象在上边的部分，对应的x的范围；
（3）求得△OAB的边长，点E在x轴的正半轴上，可以分E在线段OC上（不在O点）或线段OC的延长线上两种情况讨论，依据相似三角形的对应边的比相等即可求得．

解答：解：（1）把点A（-1，-5）、D（5，1）代入y=kx+b得

-k+b=-5 5k+b=1

，
解得：

k=1 b=-4

．
把点D（5，1）代入y=

m

x

，得m=5；
（2）x＜-1或0＜x＜5；
（3）OA=

12+52

=

26

，
在y=x-4中，令x=0，解得y=-4，则B的坐标是（0，-4）．
令y=0，解得：x=4，则C的坐标是（4，0）．
故OB=4，AB=

12+(5-4)2

=

2

，BC=4

2

，OC=4．
∴OB=OC，即△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，∠BCE=135°．
过A作AF⊥y轴于点F．则△ABF是等腰直角△，∠ABF=45°，∠ABO=135°．
1）当E在线段OC（不与O重合）上时，两个三角形一定不能相似；
2）当E在线段OC的延长线上时，设D的坐标是（x，0），则CE=x-4，
∠ABO=∠BCE=135°，
当△AOB∽△EBC时，

OB

CB

=

AB

EC

，即

4

4 2

=

2

x-4

，
解得：x=6，
则E的坐标是（6，0）；
当△AOB∽△BEC时，

OB

EC

=

AB

BC

，即

x

x-4

=

2

4 2

，
解得：x=20，
则E的坐标是（20，0）．
则E的坐标是（6，0）或（20，0）．

点评：本题是一次函数、反比例函数与相似三角形的判定与性质的综合应用，注意到∠ABO=∠BCE=135°是本题的关键．